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2020-10-21

平方根の勉強法

平方根って苦手な人が多いイメージです。

だって√とかややこしいし。

でもこの記事を見れば√を簡単に使えるようになるはず!

さあ、一緒に平方根を学んでいきましょう!

0:平方根で学ぶこと(基礎編)

【PART1】 平方根の仕組み
【PART2】 平方根の大小
【PART3】 変形
【PART4】 有理化
【PART5】 根号の計算

1:平方根の仕組み

皆さん、36の平方根って何だと思いますか?

平方根=何の2乗?

って聞かれているんです。

36って何の2乗でしょうか。

<例題1> 36の平方根は何か。

6!

正解ですが、これだけでは✕です!
(+6)を2乗したら36ですが、(-6)を2乗しても36ですよね?
ということで、±6が36の平方根となるわけです。

<答え1>±6

ポイントは、「平方根=何の2乗?」です。

じゃあ、もう一問。

5の平方根はどうでしょうか?

5の平方根は何の2乗?

5は何の2乗でもないんですよね。そこで出てくるのが√(ルート)です!

すなわち、√(ルート)を2乗すれば元の数字になります。

もちろん±√ですよ。

<例題2>5の平方根を求める

± を2乗すれば、5になるので、

<答え2>±√5

では最後に平方根の根号である√を使わずに数字を書いてみましょう。

<例題3> √25を根号を使わずに書いてみましょう。

ルートの中が何かの2乗であれば、整数にすることができます。

理由は簡単。

√(ルート)を2乗すれば元の数字になります。

ということで、

25は5の2乗ですね。

そのため、5が答えになります。

<答え3>5

2:平方根の大小

正直、ルートがついてもつかなくても、正の数では数字が大きい方=大、負の数では数字が大きい方=小というルールは変わりません。

では平方根で何が難しいというかというと、整数と根号を混ぜてくるのです。

<例題4> 6と√35どちらが大きいか?

こういう時、根号を使う形 or 整数の形にそろえて比べます。

ちなみに私は根号を使う形をオススメします!

6って根号で表すとどうなりますか?

√36です。理由は、36は6の2乗だからです。

ということで、

√36と√35どちらが大きいか?

という問題になりましたね。

すぐわかりますね。答えは6の方が大きいです。

<答え4> 6

大小の問題ではとにかくルートか整数にそろえるということをしましょう!

少し難しい問題をやりましょう。

<例題5> 3< √a <4のとき、 aの値を全て求めましょう。

これでも一緒です。ルートか整数に揃えます。

2パターンやってみますね。

①ルートにそろえる

3=√9 、4=√16 だから、 の値は10~15になります。

②整数にそろえる。

これは、 を整数にするために全て2乗します。

9< a <16になります。

よって、 の値は10~15になります。

どちらでも解けましたね!

<答え5>10、11、12、13、14、15

難しく見える問題も、とにかく「√の形 か 整数 にそろえる!」

これで大丈夫!

3:変形

変形は難しくありません。

さっそく例題です。

<例題6> 2√3を√a の形にしましょう。

この式って、2×√3ですよね?

2って根号を使うと何でしょうか。

√4です。

√4×√3は√の中身どうしをかけてあげればいいです。

√4×3=√12

<答え6> √12

これも先ほどと一緒で、とにかく整数かルートに合わせる。

今回はルートの形にする問題なので、ルートに合わせるほうがいいですね!

逆のパターンもやってみましょう!

<例題7>√24 をa√ bの形にしましょう。

この式にするためには、2乗の形にしてルートを外す必要がありますね。

ここで必要なのが素因数分解なのです!!

24=23×3

ということから、2を2乗にして外に出しちゃいましょう!

2√2×3=2√6

ということで、答えは になります。

<答え7>2√6

4:有理化

最後は有理化です。

これは何かといいますと、足し算や引き算で必要になってきます。

有理化は、分母からルートを消すための手段なのです。

有理化のポイントは、「分母の√を分母と分子両方にかける」です!

分母だけかけたり、分子だけかけたりというようなことは絶対ダメなのです。

かけるなら両方!

<例題8> 1/√3を有理化してみましょう。

有利

とにかく分母から√を消したいんですね。

有理化はたし算・ひき算などで分母をそろえるときなどに使います。

出来るようにならないとここからがしんどくなっちゃうので

しっかりと復習をしておきましょう!

5:根号の計算

さて、ここまで√(根号)を学んできましたが、最後に計算しておきましょう。

根号の計算のルールは以下の通りです。

①たし算・・・ルートの中の数字をそろえて、ルートの外だけを足し算

②ひき算・・・ルートの中の数字をそろえて、ルートの外だけをひき算

たし算・ひき算は、√a の数を数えているんです。

今回だと、√3 の数を数えていると思ってください。

そのため、√3 は全く変わらず、ルートの外だけを計算するのです。

ちなみにルートの中の数字が違うときは計算できません!

ですが、a√bの形に変形したらルートの中の数字がそろうこともあるので

諦める前に変形してみましょう!

③かけ算・・・ルートの外同士、ルートの中同士をかけ算

④わり算・・・ルートの外同士、ルートの中同士をわり算

かけ算・割り算は、ルート同士も計算します。

さらにたし算やひき算との違いは、ルートの中の数字が違っていても計算できる

という点です。

そのため、ルートの外同士、ルートの中同士をかけたり、わったりしていきます。

特にわり算の時は分数の方が約分を使って解きやすいんです。

以上のようにまずは加減乗除の4つをできるようにしておきましょう!

平方根は、今後学習する二次方程式でも使います。

だからこそしっかりと計算できるようにしておきましょう!

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