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中学数学の証明はコツを掴めば簡単!合同の証明と三角形の相似をマスターしよう!

中学数学の中でも多くの人が苦手意識を持っているのが「証明」です。

証明なんて全くわからない、解けないと思っている人が多いかもしれませんが、実際のところ証明はそこまで難しいものではなく、コツさえ掴めばスラスラと解けるようになるでしょう。

そこで、この記事では中学数学で習う「合同の証明」「三角形の相似」のコツを紹介していきます。

証明問題を解くコツとは?

証明は苦手意識を抱えたままではずっと苦手なままで終わってしまいます。まずはどのような流れで証明していくのかを学び、感覚を掴むことが大事です。

感覚を掴んだら実際に問題を解いてみてどこで躓くのかをチェックして、覚えなければいけないところは暗記、応用力が足らない場合は問題をさらに解くというように学習をしましょう。

それでは証明のコツを紹介していきます。

まずは「仮定」と「結論」をみつける!

数学の証明問題を解くにはまず、仮定と結論を見つけましょう。

仮定とは、「問題文であたえられている条件」結論とは、「仮定をつかえば正しいといえること」です。

証明とは仮定と結論との間にどうしてそうなるのかを説明することになります。

まずは仮定を図に書き込む

仮定と結論が見つかったら図に「仮定」を書きこみましょう。

学校で習った「並行」、「線分の長さがおなじ」「直角」など図形の記号を活用して視覚化しましょう。

そうすることで、証明問題を把握しやすく、結論までをイメージしやすくなります。

根拠を覚えて、結論から逆算する

  • 合同な図形の性質
  • 三角形の合同条件
  • 平行線の性質
  • 平行四辺形になる条件
  • 直角三角形の合同条件
  • 二等辺三角形の性質

などをしっかり覚えていれば、証明問題では結論が与えられているので、どのような筋道を辿れば説明できるかイメージができると思います。

つまり、「根拠となることがら」を覚えることがまずは重要になります。しっかり覚えていれば、結論から逆算して証明できるでしょう。

合同の証明のコツを紹介

合同な図形とは「ぴったりと重なる図形同士のこと」で、まずは以下の性質があることを覚えておきましょう。

  • 対応する線分の長さはそれぞれ等しい
  • 対応する角の大きさは等しい

合同の証明の1つ目のコツは「等しい大きさ・角度を見つける」ことです。

以下のような場合は等しい大きさや角度なので、該当している場所はどこかを見つけましょう。

  • 仮定で 「=」 がついているもの
  • 「中点」で区切られた線同士
  • 平行線がある場合の「同位角」「錯角」
  • 「対頂角」
  • 「共通の辺」
  • 図形の性質からわかるもの(正三角形は「3つの辺が等しい」、平行四辺形は「向かい合う辺の長さが等しい」)

続いて、2つ目のコツは「証明をテンプレート化する」ことです。

三角形の合同条件は

  • 3つの辺が等しい
  • 2組の辺とその間の角がそれぞれ等しい
  • 1組の辺とその両端の角がそれぞれ等しい

でした。これらを使って証明するのですが、それぞれを以下の「3つの辺が等しい」のようにパターン化しましょう。

〇〇(根拠)より、辺AB=辺AC  …①  
〇〇(根拠)より、辺AB=辺AC  …② 
〇〇(根拠)より、辺AB=辺AC  …③

そして最後に全てをまとめると、以下のようなテンプレートを作成することができ、これに当てはめて証明問題を解くことができます。

△Aと△Bについて、

〇〇(根拠)より、〇〇=〇〇  …①  
〇〇(根拠)より、〇〇=〇〇  …②
〇〇(根拠)より、〇〇=〇〇  …③

①,②,③より、〇〇(合同条件)なので、

△A=△B(証明終了)

相似の証明のコツを紹介

中3の数学で習う「相似」についてみていきましょう。

「相似」というのは、2つの三角形が拡大・縮小の関係にあることで、相似条件を満たしていればこの関係にあると証明することができます。

まず覚えておかなければならないのは、三角形の3つの相似条件です。

  • 2つの角がそれぞれ等しい
  • 3辺の比がすべて等しい
  • 2辺の比とその間の角がそれぞれ等しい

3つ覚えるのが難しいという人は、出題頻度が高い「2組の角がそれぞれ等しい」から覚えることをお勧めします。

相似の証明のコツは「同じ角度・辺の長さをわかりやすく印をつける」ことです。

色分けをするとわかりやすいですが、試験ではそうはいかないので、「○・◉・▲・★」などの記号を使うと良いでしょう。

図がわかりやすくなったら相似な三角形を、比や角度から探しやすいと思います。

相似の証明問題では、

「図形を宣言」⇨「根拠」⇨「相似条件と相似の式」

という流れで解くことができます。「どの図形とどの図形が、こういう根拠で、この相似条件を満たしているので相似である」という簡単な流れなのでさほど難しく考えない方が簡単です。

△ABCとDEFについて(図形を宣言)

仮定より、
AB:DE = 6:8 = 3:4 ・・・①
BC:EF = 12:16 = 3:4 ・・・②
∠ABC = ∠DEF ・・・③

①②③より、(根拠)

2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しいので、(相似条件)
△ABC=△DEF(相似の式)

 

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